Սեպտեմբեր
Կոորդինատային հարթություն
Կոորդինատային հարթություն 09.16.2025
Շրջանագծի հավասարումը
Շրջանագծի հավասարումը
Ուղղի հավասարումը

Հոկտեմբեր
Ուղղի հավասարումը
Շրջանագծի և ուղղի հավասարումները
Վեկտորներ
Վեկտորների գումարումը
Վեկտորների հանումը
Վեկտորի բազմապատկումը թվով
Վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի կոորդինատները

Նոյեմբեր
Համեմատական հատվածներ․
Նման եռանկյունների սահմանումը
Նման եռանկյունների սահմանումը
Եռանկյունների նմանության հայտանիշները
Եռանկյունների նմանության հայտանիշները
Նման եռանկյունների գծային տարրերի հարաբերությունը
Նման եռանկյունների գծային տարրերի հարաբերությունը
Համեմատական հատվածներն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ

Դեկտեմբեր
Հատվող լարերի հատկությունը
Եռանկյան կիսորդի հատկությունը
Հատվող լարերի հատկությունը
Անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը
Անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը

Հունվար
Սինուսների և կոսինուսների թեորեմը

Փետրվար
Սինուսների և կոսինուսների թեորեմը
Եռանկյան մակերեսի բանաձևեր
Եռանկյան մակերեսի բանաձևեր
Զուգահեռագծի մակերեսը
Երկրաչափական պրոգրեսիա
Բազմանկյան մակերեսի այլ բանաձևեր
Խնդիրներ շտեմարանից
Շրջանագծի երկարությունը, աղեղի երկարությունը

Մարտ
Շրջանագծի երկարությունը, աղեղի երկարությունը
Շրջանի մակերեսը, շրջանային սեկտորի մակերեսը
Շրջանի մակերեսը, շրջանային սեկտորի մակերեսը
Խնդիրներ կրկնության համար
Երկու վեկտորների կազմած անկյունը։ Վեկտորների սկալյար արտադրյալը
Կոորդինատներ և վեկտորներ

Ապրիլ
Խնդիրներ շտեմարանից
Խնդիրներ շտեմարանից
Խնդիրներ թեստերից
Խնդիրներ թեստերից
Խնդիրներ թեստերից
Խնդիրներ թեստերից
Խնդիրներ թեստերից

1) Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 7 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 12 է:
ա) Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը:
12*2=24
7²+24²=625
√625=25
P=24+7+25=56
բ) Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը։
S=1/2*7*24=84
2) Գտե՛ք եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը։
R=7+24-25/2=3
3) ABC եռանկյան մեջ <A = 50^o , <B = 80^o , AK-ն կիսորդ է։ Գտե՛ք AKC անկյունը:
<C=180-(50+80)=50
<AKC=180-(50/2+50)=105
4) O-ն ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է: Ի՞նչ հարաբերությամբ մասերի է բաժանում AO ուղիղը BC կողմը, եթե AB = 6, AC = 15 :
AB:AC=6:15=2:5
5) Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյան գագաթի հեռավորությունը հանդիպակաց կողմը 1:2 հարաբերությամբ բաժանող կետից, եթե եռանկյան կողմը 9 է:
1+2=3
9:3=3
3*2=6
6) Տրված են A(2; 3) և C(2; 5) կետերը: Գտե՛ք AC հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
(2+2)/2=2
(3+5)/2=4
{2; 4}
7) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 40 է, իսկ շրջանագծի շառավիղը՝ 4:
ա) Գտե՛ք սեղանի փոքր հիմքը։
h=2*4=8
բ) Գտե՛ք սեղանի մակերեսը։

1) ABCD զուգահեռագծի մեջ AB = 18, AD = 20, <ABC = 150^օ:
Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը։
P=18+18+20+20=76
Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը։
sinα=30^o=1/2
S=18*20*0.5=180
Գտե՛ք B գագաթից տարված մեծ բարձրությունը։
180=20*h
h=180/20=9

2) K կետը AB հատվածի կետ է, որում՝ AK : KB = 7/4 : Գտե՛ք AK և KB հատվածների երկարությունը, եթե AB = 33 :
7+4=11
33/11=3
AK=7*3=21
KB=4*3=12

3) O կենտրոնով շրջանագծի AB տրամագիծը և CD լարը հատվում են M կետում: AM = 2, MB = 16 , իսկ CM : MD = 1/2 : Գտե՛ք MD հատվածի երկարությունը։
AM*BM=CM*MD
2*16=x*2x
2x²=32
x=4
MD=4*2=8

4) ABC եռանկյունում AB = 8, BC = 11, AC = 14 : Գտե՛ք BK հատվածի
երկարությունը, եթե AK-ն A անկյան կիսորդն է:
8/x=14/11-x
14x=88-8x
14x+8x=88
22x=88, x=4

5) Գտե՛ք y-ների առանցքին զուգահեռ և A(–6; 4) կետով անցնող ուղղի
հավասարումը։
x=-6

6) Գտե՛ք |a| = 6, |b| = 8 երկարությամբ վեկտորների սկալյար արտադրյալը
եթե դրանց կազմած անկյունը 60° է:
cos60^o=1/2
a*b=6*8*0.5=24

7) Ուղղանկյուն սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը 4 է, մեծ սրունքի երկարությունը՝ 2, իսկ սուր անկյունը՝ 60°:
Գտե՛ք մեծ հիմքի երկարությունը։
<CHD=90^o
<CDH=60^o
<HCD=30^o
HD=CD/2=1
AH=BC=4
AD=1+4=5
Գտե՛ք միջին գծի երկարությունը։
(4+5)/2=4.5
Գտե՛ք սեղանի մեծ անկյան աստիճանային չափը:
360-(90+90+60)=120

8) K կետը AB հատվածի կետ է, իսկ C կետը՝ KB հատվածի: AK : KC : CB = 2 : 5 : 7: Գտե՛ք AK և CB հատվածների երկարությունը, եթե KC = 15:
15/5=3
AK=2*5=10
CB=7*5=35

1) Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատողով հատելիս խաչադիր անկյունների գումարը 160° է։ Գտնել այդ անկյունների կից անկյունների աստիճանային չափը:
160/2=80
180-80=100^o
2) Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 8 մ է, սրունքը՝ 4 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60°։ Գտնել սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը։
CD=4
<ECD=30^o
<DCE=60^o
ED=4/2=2
BC=8-2-2=6

3) AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են CD կետերն այնպես, որ UAC = 57^o, UBD = 63^o։ Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:

ա) Գտնել CD լարի երկարությունը։
CU=UD=DC=12
DC=12
բ) Գտնել COD եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն շրջանագծի կենտրոնն է։
S=144√3/4=62.35
4) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը 10 սմ և 14 սմ։ Գտնել այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են։
10/2=5
14/2=7
P=5+5+7+7=24
5) Շրջանագծին ներգծված է BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն: Գտնել եռանկյան անկյունները, եթե UBC = 112^o:
180-112=68
<B=<C=180-68/2=56
56^o, 56^o, 68^o
6) Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը 96 սմ² է։ Գտնել խորանարդի կողի երկարությունը։
S=6a²
a²=16
a=4
7) Տրված են a = 2i — j և b = 6i — 3j վեկտորները:
a=(2,-1)
b=(6,-3)
ա) Գտնել k -ն, եթե b = k * a:
(6,-3)=k(2,-1)
6=2k
-3=-1*k
k=3
բ) Գտնել a − 2b վեկտորի կոորդինատները:
2b=(12,-6)
a-2b=(2,-1)-(12,-6)=(-10,5)

1) Երկու զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 26°-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյուններից փոքրի աստիճանային չափը:
180/2=90
26/2=13
90-13=77^o
2) Շրջանագծի երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը կիսվում է: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:
12*3=36
x*x=36
x=6
3) Գտնել խորանարդի ծավալը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսը 100 է։
4a²=100
a²=25
a=5
V=5³=125
4) Գտնել x-ը, եթե A (2; 3), B(x; 1) կետերի հեռավորությունը 2 է:
dAB=√(x-2)²+(1-3)²=2
(x-2)²+4=4
(x-2)²=0
x-2=0, x=2
5) Գտնել 3a-ն, եթե a {5;-2}:
x=3*5=15
y=-2*3=-6
6) Գտնել AB հատվածի միջակետի կոորդինատները, եթե A (2;3), B(4; 1):
x=2+4/2=3
y=3+1/2=2
7) Շեղանկյան մակերեսը 96 սմ² է, իսկ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝ 12 սմ:
(12*x)/2=96
12x=192
x=16
ա) Գտնել շեղանկյան կողմի երկարությունը։
6²+x²=8²
8²+6²=x²
64+36=100
x=10
բ) Գտնել շեղանկյան բարձրության երկարությունը։

1) CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է։ BD = 4, AD = 7, AC = 21
ա) Գտե՛ք BC կողմի երկարությունը։
AD/AC=BD/BC
7/21=4/BC
BC=21*4/7=12
բ) Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:
P=4+21+7+12=44
գ) Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը։
p=44/2=22
AB=4+7=11
S=√(22-21)√(22-11)√(22-12)=√110

2) OC ճառագայթը AOB անկյունը բաժանում է 2 անկյան, որոնցից մեկը 3 անգամ փոքր է մյուսից: Գտե՛ք այդ անկյուններից մեծագույնը, եթե <AOB = 60^o:
60/4=15^o
15*3=45^o

3) Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 16 է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 4 է։ Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 64 է:
16/4=64/x
x=4*64/16=16

4) Տրված են ā {1;1} և b{-2; 8} վեկտորները: Գտե՛ք 5a — 2b վեկտորի կոորդինատները։
x=5*1-2*(-2)=9
y=5*1-2*8=-11
ab={9;-11}

5) Գտե՛ք x-ը, եթե a{x; 3} և b{2; -3} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 9 է:
(x+2)*(-3+3)=9
x+2=9
x=9-2=7

6) Շեղանկյան մակերեսը 120 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 24:
ա) Գտե՛ք շեղանկյան պարագիծը։
24*x/2=120
24x=120*2=240
x=240/24=10
բ) Գտե՛ք շեղանկյան բարձրությունը։

7) Շրջանագծի A կետի հեռավորությունը տրամագծի ծայրակետերից 3 և 4 է: Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը:

1) Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 6 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 8 և 12 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
12-8=4
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(20+4)/2*6=72
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
6²+8²=36+64=100
√100=10
P=10*2+4+20=44

2) Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 24 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 10 և 30 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
30-10=20
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
30+10=40
S=(20+40)/2*24=720
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
24²+10²=576+100=676
√676=26
P=26*2+20+40=112

3) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 3 և 11 են, մակերեսը՝ 21:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
(3+11)/2*h=21
h=21/7=3
11-3=8
8/2=4
4²+3²=25
√25=5
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
P=5*2+3+11=24
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

4) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 4 և 16 են, մակերեսը` 80:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
(4+16)/2*h=80
h=80/10=8
16-4=12
12/2=6
8²+6²=100
√100=10
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
P=10*2+4+16=40
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

5) ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 25, CD = 10, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

6) ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 9, CD = 3, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

1) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 8 է, իսկ սրունքը՝ 16:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային չափը:
sinα=8/16=1/2
sinα=30^o
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
8²+x²=16²
x²=√16²-√8²=√256-√64=√192=8√3
հիմք=8√3*2=16√3
S=16√3*8/2=64√3
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
R=16*16*16√3/4*64√3=16

2) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը
10 է, իսկ սրունքը՝ 20:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային չափը:
sinα=10/20=1/2
sinα=30^o
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
10²+x²=20²
x²=√400-√100=√300=10√3
հիմք=20√3
S=20√3*10/2=100√3
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
R=20√3*20*20/4*100√3=20

3) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 2 և 18 են, սրունքը` 10:
ա) Գտնել սեղանի բարձրությունը:
18-2=16
16/2=8
8²+h²=10²
h²=100-64=36
h=6
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(2+18)/2*6=60
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

4) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 4 և 28 են, սրունքը՝ 13:
ա) Գտնել սեղանի բարձրությունը:
28-4=24
24/2=12
h²+12²=13²
h²=169-144=25
h=5
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(4+28)/2*5=80
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

5) Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 8 է, բարձրությունը՝ 6
իսկ սուր անկյունը՝ 45°։
ա) Գտնել սեղանի մեծ հիմքը:
tan 45^o=6/x=1
x=6
8+6+6=20
բ) Գտնել սեղանի միջին գիծը:
8+20/2=14
գ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=14*6=84

6) Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 10 է, բարձրությունը՝ 6, իսկ սուր անկյունը՝ 45°:
ա) Գտնել սեղանի մեծ հիմքը:
tan 45^o=6/x=1
x=6
10+6+6=22
բ) Գտնել սեղանի միջին գիծը:
22+10/2=16
գ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=16*6=96

Առաջադրանքներ․

Տրված են A(0; −1), B(0; 1) և C(1; 2) կետերը․
1) Գտնել AB վեկտորի կոորդինատները:
0-0=0
1-(-1)=2
AB (0;2)
2) Գտնել AC վեկտորի երկարությունը:
dAC=√(1-0)²+(2-(-1))²=√10
3) Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը:
dAC=√(1-0)²+(2-1)²=√2
4) Գտնել AB հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
x=0+0/2=0
y=-1+1/2=0
5) Գտնել AC և BC վեկտորների սկալյար արտադրյալը:
a*c=0*1+(-1)*2=-1
b*c=0*1+1*2=3
6) Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով:
(x-0)²+(y-1)²=2
7) Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։
x-0/1-0=y+1/2+1
x/1=y+1/3
3x=y+1
3x-y-1=0
8) Ո՞ր քառորդին է պատկանում C կետը:
2-րդ

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք |a| = 4, |b| = 3 երկարությամբ՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե դրանց կազմած անկյունը 30° է:
a*b=|4|*|3|*√3/2=6√3
2) 45° անկյուն կազմող a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը 8 է, a = 2√2: Գտե՛ք |b|-ն:
2√2*b*√2/2=8
8:2√2:√2/2=4
b=4
3) Գտե՛ք a և b վեկտորների կազմած անկյունը, եթե |a| = 5, |b| = 4, a ^․ b = -10:
5*4*cosα=-10
cosα=-10/20=-0.5
180-60=120
α=120^o
4) a և b վեկտորների կազմած անկյունը 90° է: Գտե՛ք a(a + b) -ն, եթե |a| = 5:
5*b*0=0
b=0/5=0
5(5+0)=25
5) a և b վեկտորները հակուղղված են: Գտեք 2a և 3b վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե |a| = 6, |b| = 4:
2a*3b*cosα=12*12*(-1)=-144
6) Գտե՛ք a{3;-4} և b{2;6} վեկտորների սկալյար արտադրյալը:
3*2+(-4)*6=-18
7) a{3;-4}, b{9; -3}, c{6;-2}, d{3;-2} վեկտորներից որո՞նք են ուղղահայաց p {2;6} վեկտորին:
b) 9*2+(-3)*6=0
c) 6*2+(-2)*6=0
8) Գտե՛ք x-ը, եթե a{x;2} և b{4;-2} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 12 է:
x₁*4+2*(-2)=4x₁-4=12
4x₁=12+4=16
x=16/4=4