1) Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 7 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 12 է:
ա) Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը:
12*2=24
7²+24²=625
√625=25
P=24+7+25=56
բ) Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը։
S=1/2*7*24=84
2) Գտե՛ք եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը։
R=7+24-25/2=3
3) ABC եռանկյան մեջ <A = 50^o , <B = 80^o , AK-ն կիսորդ է։ Գտե՛ք AKC անկյունը:
<C=180-(50+80)=50
<AKC=180-(50/2+50)=105
4) O-ն ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է: Ի՞նչ հարաբերությամբ մասերի է բաժանում AO ուղիղը BC կողմը, եթե AB = 6, AC = 15 :
AB:AC=6:15=2:5
5) Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյան գագաթի հեռավորությունը հանդիպակաց կողմը 1:2 հարաբերությամբ բաժանող կետից, եթե եռանկյան կողմը 9 է:
1+2=3
9:3=3
3*2=6
6) Տրված են A(2; 3) և C(2; 5) կետերը: Գտե՛ք AC հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
(2+2)/2=2
(3+5)/2=4
{2; 4}
7) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 40 է, իսկ շրջանագծի շառավիղը՝ 4:
ա) Գտե՛ք սեղանի փոքր հիմքը։
h=2*4=8
բ) Գտե՛ք սեղանի մակերեսը։

1) ABCD զուգահեռագծի մեջ AB = 18, AD = 20, <ABC = 150^օ:
Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը։
P=18+18+20+20=76
Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը։
sinα=30^o=1/2
S=18*20*0.5=180
Գտե՛ք B գագաթից տարված մեծ բարձրությունը։
180=20*h
h=180/20=9

2) K կետը AB հատվածի կետ է, որում՝ AK : KB = 7/4 : Գտե՛ք AK և KB հատվածների երկարությունը, եթե AB = 33 :
7+4=11
33/11=3
AK=7*3=21
KB=4*3=12

3) O կենտրոնով շրջանագծի AB տրամագիծը և CD լարը հատվում են M կետում: AM = 2, MB = 16 , իսկ CM : MD = 1/2 : Գտե՛ք MD հատվածի երկարությունը։
AM*BM=CM*MD
2*16=x*2x
2x²=32
x=4
MD=4*2=8

4) ABC եռանկյունում AB = 8, BC = 11, AC = 14 : Գտե՛ք BK հատվածի
երկարությունը, եթե AK-ն A անկյան կիսորդն է:
8/x=14/11-x
14x=88-8x
14x+8x=88
22x=88, x=4

5) Գտե՛ք y-ների առանցքին զուգահեռ և A(–6; 4) կետով անցնող ուղղի
հավասարումը։
x=-6

6) Գտե՛ք |a| = 6, |b| = 8 երկարությամբ վեկտորների սկալյար արտադրյալը
եթե դրանց կազմած անկյունը 60° է:
cos60^o=1/2
a*b=6*8*0.5=24

7) Ուղղանկյուն սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը 4 է, մեծ սրունքի երկարությունը՝ 2, իսկ սուր անկյունը՝ 60°:
Գտե՛ք մեծ հիմքի երկարությունը։
<CHD=90^o
<CDH=60^o
<HCD=30^o
HD=CD/2=1
AH=BC=4
AD=1+4=5
Գտե՛ք միջին գծի երկարությունը։
(4+5)/2=4.5
Գտե՛ք սեղանի մեծ անկյան աստիճանային չափը:
360-(90+90+60)=120

8) K կետը AB հատվածի կետ է, իսկ C կետը՝ KB հատվածի: AK : KC : CB = 2 : 5 : 7: Գտե՛ք AK և CB հատվածների երկարությունը, եթե KC = 15:
15/5=3
AK=2*5=10
CB=7*5=35

1) Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատողով հատելիս խաչադիր անկյունների գումարը 160° է։ Գտնել այդ անկյունների կից անկյունների աստիճանային չափը:
160/2=80
180-80=100^o
2) Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 8 մ է, սրունքը՝ 4 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60°։ Գտնել սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը։
CD=4
<ECD=30^o
<DCE=60^o
ED=4/2=2
BC=8-2-2=6

3) AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են CD կետերն այնպես, որ UAC = 57^o, UBD = 63^o։ Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:

ա) Գտնել CD լարի երկարությունը։
CU=UD=DC=12
DC=12
բ) Գտնել COD եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն շրջանագծի կենտրոնն է։
S=144√3/4=62.35
4) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը 10 սմ և 14 սմ։ Գտնել այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են։
10/2=5
14/2=7
P=5+5+7+7=24
5) Շրջանագծին ներգծված է BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն: Գտնել եռանկյան անկյունները, եթե UBC = 112^o:
180-112=68
<B=<C=180-68/2=56
56^o, 56^o, 68^o
6) Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը 96 սմ² է։ Գտնել խորանարդի կողի երկարությունը։
S=6a²
a²=16
a=4
7) Տրված են a = 2i — j և b = 6i — 3j վեկտորները:
a=(2,-1)
b=(6,-3)
ա) Գտնել k -ն, եթե b = k * a:
(6,-3)=k(2,-1)
6=2k
-3=-1*k
k=3
բ) Գտնել a − 2b վեկտորի կոորդինատները:
2b=(12,-6)
a-2b=(2,-1)-(12,-6)=(-10,5)

1) Երկու զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 26°-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյուններից փոքրի աստիճանային չափը:
180/2=90
26/2=13
90-13=77^o
2) Շրջանագծի երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը կիսվում է: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:
12*3=36
x*x=36
x=6
3) Գտնել խորանարդի ծավալը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսը 100 է։
4a²=100
a²=25
a=5
V=5³=125
4) Գտնել x-ը, եթե A (2; 3), B(x; 1) կետերի հեռավորությունը 2 է:
dAB=√(x-2)²+(1-3)²=2
(x-2)²+4=4
(x-2)²=0
x-2=0, x=2
5) Գտնել 3a-ն, եթե a {5;-2}:
x=3*5=15
y=-2*3=-6
6) Գտնել AB հատվածի միջակետի կոորդինատները, եթե A (2;3), B(4; 1):
x=2+4/2=3
y=3+1/2=2
7) Շեղանկյան մակերեսը 96 սմ² է, իսկ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝ 12 սմ:
(12*x)/2=96
12x=192
x=16
ա) Գտնել շեղանկյան կողմի երկարությունը։
6²+x²=8²
8²+6²=x²
64+36=100
x=10
բ) Գտնել շեղանկյան բարձրության երկարությունը։

1) CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է։ BD = 4, AD = 7, AC = 21
ա) Գտե՛ք BC կողմի երկարությունը։
AD/AC=BD/BC
7/21=4/BC
BC=21*4/7=12
բ) Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:
P=4+21+7+12=44
գ) Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը։
p=44/2=22
AB=4+7=11
S=√(22-21)√(22-11)√(22-12)=√110

2) OC ճառագայթը AOB անկյունը բաժանում է 2 անկյան, որոնցից մեկը 3 անգամ փոքր է մյուսից: Գտե՛ք այդ անկյուններից մեծագույնը, եթե <AOB = 60^o:
60/4=15^o
15*3=45^o

3) Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 16 է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 4 է։ Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 64 է:
16/4=64/x
x=4*64/16=16

4) Տրված են ā {1;1} և b{-2; 8} վեկտորները: Գտե՛ք 5a — 2b վեկտորի կոորդինատները։
x=5*1-2*(-2)=9
y=5*1-2*8=-11
ab={9;-11}

5) Գտե՛ք x-ը, եթե a{x; 3} և b{2; -3} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 9 է:
(x+2)*(-3+3)=9
x+2=9
x=9-2=7

6) Շեղանկյան մակերեսը 120 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 24:
ա) Գտե՛ք շեղանկյան պարագիծը։
24*x/2=120
24x=120*2=240
x=240/24=10
բ) Գտե՛ք շեղանկյան բարձրությունը։

7) Շրջանագծի A կետի հեռավորությունը տրամագծի ծայրակետերից 3 և 4 է: Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը:

1) Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 6 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 8 և 12 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
12-8=4
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(20+4)/2*6=72
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
6²+8²=36+64=100
√100=10
P=10*2+4+20=44

2) Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 24 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 10 և 30 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
30-10=20
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
30+10=40
S=(20+40)/2*24=720
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
24²+10²=576+100=676
√676=26
P=26*2+20+40=112

3) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 3 և 11 են, մակերեսը՝ 21:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
(3+11)/2*h=21
h=21/7=3
11-3=8
8/2=4
4²+3²=25
√25=5
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
P=5*2+3+11=24
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

4) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 4 և 16 են, մակերեսը` 80:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
(4+16)/2*h=80
h=80/10=8
16-4=12
12/2=6
8²+6²=100
√100=10
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
P=10*2+4+16=40
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

5) ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 25, CD = 10, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

6) ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 9, CD = 3, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

1) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 8 է, իսկ սրունքը՝ 16:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային չափը:
sinα=8/16=1/2
sinα=30^o
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
8²+x²=16²
x²=√16²-√8²=√256-√64=√192=8√3
հիմք=8√3*2=16√3
S=16√3*8/2=64√3
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
R=16*16*16√3/4*64√3=16

2) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը
10 է, իսկ սրունքը՝ 20:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային չափը:
sinα=10/20=1/2
sinα=30^o
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
10²+x²=20²
x²=√400-√100=√300=10√3
հիմք=20√3
S=20√3*10/2=100√3
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
R=20√3*20*20/4*100√3=20

3) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 2 և 18 են, սրունքը` 10:
ա) Գտնել սեղանի բարձրությունը:
18-2=16
16/2=8
8²+h²=10²
h²=100-64=36
h=6
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(2+18)/2*6=60
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

4) Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 4 և 28 են, սրունքը՝ 13:
ա) Գտնել սեղանի բարձրությունը:
28-4=24
24/2=12
h²+12²=13²
h²=169-144=25
h=5
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=(4+28)/2*5=80
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

5) Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 8 է, բարձրությունը՝ 6
իսկ սուր անկյունը՝ 45°։
ա) Գտնել սեղանի մեծ հիմքը:
tan 45^o=6/x=1
x=6
8+6+6=20
բ) Գտնել սեղանի միջին գիծը:
8+20/2=14
գ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=14*6=84

6) Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 10 է, բարձրությունը՝ 6, իսկ սուր անկյունը՝ 45°:
ա) Գտնել սեղանի մեծ հիմքը:
tan 45^o=6/x=1
x=6
10+6+6=22
բ) Գտնել սեղանի միջին գիծը:
22+10/2=16
գ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
S=16*6=96

Առաջադրանքներ․

Տրված են A(0; −1), B(0; 1) և C(1; 2) կետերը․
1) Գտնել AB վեկտորի կոորդինատները:
0-0=0
1-(-1)=2
AB (0;2)
2) Գտնել AC վեկտորի երկարությունը:
dAC=√(1-0)²+(2-(-1))²=√10
3) Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը:
dAC=√(1-0)²+(2-1)²=√2
4) Գտնել AB հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
x=0+0/2=0
y=-1+1/2=0
5) Գտնել AC և BC վեկտորների սկալյար արտադրյալը:
a*c=0*1+(-1)*2=-1
b*c=0*1+1*2=3
6) Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով:
(x-0)²+(y-1)²=2
7) Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։
x-0/1-0=y+1/2+1
x/1=y+1/3
3x=y+1
3x-y-1=0
8) Ո՞ր քառորդին է պատկանում C կետը:
2-րդ

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք |a| = 4, |b| = 3 երկարությամբ՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե դրանց կազմած անկյունը 30° է:
a*b=|4|*|3|*√3/2=6√3
2) 45° անկյուն կազմող a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը 8 է, a = 2√2: Գտե՛ք |b|-ն:
2√2*b*√2/2=8
8:2√2:√2/2=4
b=4
3) Գտե՛ք a և b վեկտորների կազմած անկյունը, եթե |a| = 5, |b| = 4, a ^․ b = -10:
5*4*cosα=-10
cosα=-10/20=-0.5
180-60=120
α=120^o
4) a և b վեկտորների կազմած անկյունը 90° է: Գտե՛ք a(a + b) -ն, եթե |a| = 5:
5*b*0=0
b=0/5=0
5(5+0)=25
5) a և b վեկտորները հակուղղված են: Գտեք 2a և 3b վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե |a| = 6, |b| = 4:
2a*3b*cosα=12*12*(-1)=-144
6) Գտե՛ք a{3;-4} և b{2;6} վեկտորների սկալյար արտադրյալը:
3*2+(-4)*6=-18
7) a{3;-4}, b{9; -3}, c{6;-2}, d{3;-2} վեկտորներից որո՞նք են ուղղահայաց p {2;6} վեկտորին:
b) 9*2+(-3)*6=0
c) 6*2+(-2)*6=0
8) Գտե՛ք x-ը, եթե a{x;2} և b{4;-2} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 12 է:
x₁*4+2*(-2)=4x₁-4=12
4x₁=12+4=16
x=16/4=4

1) ABCD զուգահեռագծի B անկյունը 135° է: Այդ անկյան գագաթից AD կողմին տարված BE բարձրությունը զուգահեռագծի կողմը բաժանում է AE = 6 սմ և ED = 10 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
AE+ED=16
AD=16
AE=BE=6
S=6*16=96
2) Զուգահեռագծի բարձրությունները 5 դմ և 4 դմ են, իսկ պարագիծը՝ 54 դմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:
2a+2b=54
a+b=27
4a=5b
27/(4+5)=3
a=4*3=12
b=5*3=15
S=15*4=60
3) BC և AD հիմքերով ABCD սեղանի բարձրությունը 8 սմ է, AD հիմքը՝ 14 սմ: Գտեք սեղանի միջին գիծը, եթե S_BCD = 16 սմ²:
(8*BC)/2=16
4BC=16
BC=4
(14+4)/2=9
4) AH-ը ABC հավասարասրուն (AB = BC) եռանկյան BC կողմին տարված բարձրությունն է: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե BH = 8 դմ, CH = 2 դմ:
AB=BC
BC=8+2=10
AH²+BC²=AB²
AH²+64=100
AH²=100-64=36, AH=6
S=1/2*10*6=30
5) AK-ն AB = BC կողմերով ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտեք AC-ն, եթե BK = 4 սմ, CK = 6 սմ:
BC=4+6=10
AB=BC
AK²=10²+4²=14²
AC²=14²+6²=20²
AC=20
6) AK-ն ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտե՛ք KC-ն, եթե AB = 12 սմ, BK ^. AC = 120 սմ²:
BK*AC=120
AK=120/12=10