1) ABCD զուգահեռագծի B անկյունը 135° է: Այդ անկյան գագաթից AD կողմին տարված BE բարձրությունը զուգահեռագծի կողմը բաժանում է AE = 6 սմ և ED = 10 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
AE+ED=16
AD=16
AE=BE=6
S=6*16=96
2) Զուգահեռագծի բարձրությունները 5 դմ և 4 դմ են, իսկ պարագիծը՝ 54 դմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:
2a+2b=54
a+b=27
4a=5b
27/(4+5)=3
a=4*3=12
b=5*3=15
S=15*4=60
3) BC և AD հիմքերով ABCD սեղանի բարձրությունը 8 սմ է, AD հիմքը՝ 14 սմ: Գտեք սեղանի միջին գիծը, եթե S_BCD = 16 սմ²:
(8*BC)/2=16
4BC=16
BC=4
(14+4)/2=9
4) AH-ը ABC հավասարասրուն (AB = BC) եռանկյան BC կողմին տարված բարձրությունն է: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե BH = 8 դմ, CH = 2 դմ:
AB=BC
BC=8+2=10
AH²+BC²=AB²
AH²+64=100
AH²=100-64=36, AH=6
S=1/2*10*6=30
5) AK-ն AB = BC կողմերով ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտեք AC-ն, եթե BK = 4 սմ, CK = 6 սմ:
BC=4+6=10
AB=BC
AK²=10²+4²=14²
AC²=14²+6²=20²
AC=20
6) AK-ն ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտե՛ք KC-ն, եթե AB = 12 սմ, BK ^. AC = 120 սմ²:
BK*AC=120
AK=120/12=10

1) Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը`
ա) մեծացվի 2 անգամ
Կմեծանա 4 անգամ
բ) փոքրացվի 0,5 անգամ
Կփոքրանա 0.25 անգամ
գ) մեծացվի 0,2 անգամ
Կմեծանա 0.04 անգամ
2) Գտե՛ք 36π սմ<sup>2</sup> մակերես ունեցող շրջանը եզերող շրջանագծի երկարությունը:
S=36π
36π=πR<sup>2</sup>
R<sup>2</sup>=36, R=6
3) Որքա՞ն է այն սեկտորի մակերեսը, որի շառավիղը 3 սմ է, իսկ աղեղի աստիճանային չափը`
ա) 45°
S=9π*45/360=3.5325
բ) 36°
S=9π*36/360=2.826
գ) 120°
S=9π*120/360=9.42
4) Գտե՛ք 45°- ի աղեղով այն սեկտորի մակերեսը, որի շառավիղը 5√2 սմ է:
S=25π*2*45/360=19.625
5) 240°- ի աղեղով սեկտորի մակերեսը 270π սմ² է: Գտե՛ք այդ սեկտորի շառավիղը:
270π=πR²*240/360
270π=2πR²/3
2R²=270*3=810
R²=405, R=√405
6) 10π սմ² մակերեսով սեկտորի աղեղի աստիճանային չափը 36° է: Գտե՛ք սեկտորի շառավիղը:
10π=πR²*36/360=
10=R²/10
R²=100, R=10
7) Հաշվե՛ք 15π դմ երկարությամբ շրջանագծով եզերված շրջանի մակերեսը:
8) Գտե՛ք այն զուգահեռագծի պարագիծը, որի կողմերը հավասար են 49π սմ² և 64π սմ² մակերեսներով շրջանների շառավիղներին:
9) Գտե՛ք շրջանաձև այն խաղահրապարակի տրամագիծը, որը հավասարամեծ է 17,72 մ կողմով քառակուսաձև խաղադաշտին:

Առաջադրանքներ․
1) Օգտագործելով R շառավիղով շրջանի S մակերեսի բանաձևը` լրացրեք դատարկ վանդակները։ Օգտվեք π = 3, 14 արժեքից։

2) Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը`
ա) մեծացվի k անգամ
Կմեծանա k² անգամ
բ) փոքրացվի k անգամ
Կփոքրանա k² անգամ

3) Քանի՞ անգամ կմեծանա շրջանի մակերեսը, եթե դրա շառավիղը մեծացվի 3 անգամ:
Կմեծանա 3 անգամ։

4) Գտե՛ք 21 սմ շառավղով և 60° աղեղով սեկտորի մակերեսը:
S=3.14*441/360*60=230.79

5) 40° աղեղով սեկտորի մակերեսը 25 դմ² է: Գտեք սեկտորի շառավիղը:
R²=25/3.14=7.96
R=√7.96

6) 10 սմ շառավիղով շրջանից կտրված է 60° աղեղով սեկտոր։ Գտեք շրջանի մնացած մասի մակերեսը։
360-60=300
S=3.14*100/360*300=261.6

7) Կրկեսի հրապարակի շրջանագծի երկարությունը հավասար է 41 մ։ Գտեք հրապարակի տրամագիծը և մակերեսը։
41=2*3.14*R
R=41/6.28=6.528
2R=13.056
S=3.14*6.528²=133.81

Առաջադրանքներ․
1) Օգտագործելով R շառավիղով շրջանագծի C երկարության բանաձևը, լրացրեք աղյուսակի դատարկ վանդակները։ Օգտվեք π = 3, 14 արժեքից։

2) Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանագծի երկարությունը, եթե շրջանագծի շառավիղը`
ա) մեծացվի երեք անգամ
Երկարությունը կմեծանա 3 անգամ
բ) փոքրացվի երկու անգամ
Երկարությունը կփոքրանա 2 անգամ
գ) մեծացվի k անգամ
Երկարությունը կմեծանա k անգամ
դ) փոքրացվի k անգամ
Երկարությունը կփոքրանա k անգամ

3) Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանագծի շառավիղը, եթե շրջանագծի երկարությունը`
ա) մեծացվի k անգամ
Շառավիղը կմեծանա k անգամ
բ) փոքրացվի k անգամ
Շառավիղը կփոքրանա k անգամ

4) Որոշեք շրջանագծի շառավիղը, եթե շրջանագիծն իր տրամագծից 107 սմ–ով երկար է։
C=2R+107
2πR=2R+107
4.28R=107
R=107/4.28=25

5) Շոգեքարշն անցավ 1413 մ։ Գտեք շոգեքարշի անիվի տրամագիծը, եթե հայտնի է, որ այն կատարել է 300 պտույտ։
C=300*2πR=1413
2R=1413/300*3.14=1.5

6) 4 սմ շառավիղ ունեցող շրջանային աղեղը, որի աստիճանային չափը 120° է, հավասար է մեկ այլ շրջանագծի երկարությանը։ Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը։

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք 13 սմ շառավղով շրջանագծի երկարությունը:
C=2πR
C=2*3.14*13=81.64
2) Գտե՛ք 10π սմ երկարությամբ շրջանագծի շառավիղը:
C=31.4
R=31.4/6.28=5
3) Գտե՛ք 15 սմ շառավղով 36° աղեղի երկարությունը:
πR/180*α
l=3.14*15/180*36=9.42
4) Գտե՛ք 18 դմ շառավղով շրջանագծի 120° աղեղի երկարությունը:
l=3.14*18/180*120=37.68
5) Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա 45° աղեղի երկարությունը 19 սմ է:
l=19
R=180*19/3.14*45=24.203
6) Նկարում AB աղեղի երկարությունը 7π սմ է: Գտե՛ք ∝-ն, եթե OA = 36 սմ:

R=36
l=21.98
α=180*21.98/3.14*36=35^o
7) O կենտրոնով շրջանագծերից մեկի շառավիղը 9 սմ է, մյուսինը՝ 15 սմ: Գտե՛ք CD աղեղի երկարությունը, եթե AB աղեղի երկարությունը 5π սմ է:

α=180*15.7/3.14*15=60^o
l_CD=9π/180*60=9.42

1) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 100 է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 24:13 :
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
24+13=50, 100/50=2
a, b=13*2=26
c=24*2=48
p=100/2=50
S=√50*(50-26)(50-26)(50-48)=√50*24*24*2
S=√57600=240
բ) Գտնել եռանկյան փոքր կողմը:
24+13=50, 100/50=2
a=13*2=26
b=13*2=26
գ) Գտնել եռանկյան մեծ բարձրությունը:
S=48*h/2
h/2=240/48=5
h=5*2=10

2) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8-ով փոքր է սրունքների գումարից, իսկ պարագիծը 72 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքի երկարությունը:
72=2x-8+x+x
4x=72+8
4x=80, x=20
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
20+20-8=32
p=72/2=36
S=√36*(36-20)(36-20)(36-32)=√36*16*16*4
S=√36864=192
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:
r=192/36=5.3

3) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը՝ 36 է, իսկ սրունքը հավասար է այն քառակուսու կողմին, որի պարագիծը 40 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքը:
40/4=10
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
p=36/2=18
S=√18*(18-10)(18-10)(18-16)=√18*8*8*2=48
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:
r=48/18=2.6

4) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 6 է,
իսկ սրունքը՝ 12:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային
չափը:
30^o
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
S=12√3*(6/2)=62.353
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
R=12*12*12√3/249.415=12

Առաջադրանքներ․
1) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի բարձրությունը 4 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 60 սմ²: Գտեք սեղանի սրունքը:
60=(a+b)/2*4
a+b=60*2/4=30
a+b=c+c
2c=30, c=15
2) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի սրունքը 12 դմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 5 դմ: Գտեք սեղանի մակերեսը։
a+b=c+c
12*2=24
p=(24+24)/2=24
S=24*5=120
3) Շրջանագծին արտագծած ուղղանկյուն սեղանի կողմնային կողմերը 12 սմ և 16 սմ են: Գտե՛ք սեղանի մակերեսը:
h=12
S=(12+16)/2*12=168
4) Ուռուցիկ քառանկյան 12 դմ և 18 դմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 45° է: Գտե՛ք քառանկյան մակերեսը:
S=1/2*12*18*√2/2=216√2
5) Զուգահեռագծի 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 30° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=1/2*7*16*1/2=28
6) Գտեք սեղանի 6 սմ և 10 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը, եթե դրա մակերեսը 15√3 սմ է:
1/2*6*10*x=15√3
15√3=30x
x=15√3/30=√3/2
sin60=√3/2
7) Ուղղանկյան մակերեսը 36 դմ է, անկյունագիծը՝ 12 դմ: Գտեք անկյունագծերի կազմած անկյունը:
1/2*12*12*x=36
36=72x
x=0.5
sin30=1/2
8) Ուղղանկյան կողմերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտե՛ք անկյունագծերի կազմած անկյան սինուսը:

Առաջադրանքներ․
1) Տրված է 1, 3, 9, 27, … երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտեք նրա հայտարարը և հինգերորդ, վեցերորդ ու յոթերորդ անդամները:
q=3/1=3
a5=1*3⁴=81
a6=1*3⁵=243
a7=1*3⁶=729

2) Հաջորդականությունն արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիա՞ է.
ա) 1, 8, 15, 21, 26, …; — ոչ
բ) 4, 2, 1, 0,5, 0,25, …; — այո
գ) -2, 2, -2, 2, -2, …; — այո
դ) 0, 4, 16, 64, 256, …: — ոչ

3) Գտեք a_n երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները, եթե a₁ = 2, q = 0,25 :
a1=2
a2=2*0.25^2-1=0.5
a3=2*0.25^3-1=0.125
a4=2*2^4-1=0.03125

4) Տրված է a_n երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվեք.
ա) a₃ — ը, եթե a₁= 0,5, q = — 2;
a3=0.5*-2²=2
բ) a₄ — ը, եթե a₁ = -2, q = 3;
a4=-2*3^4-1=-54
գ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = 3, a₂ = 4;
q=4/3=1.333
a3=3*(4/3)²=16/3
դ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = — 4, a₂ = 6
q=6/-4=-1.5
a3=-4*-1.5²=-9

5) Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք իրար հաջորդող անդամներ.
ա) 7, x, 63։ Գտեք x — ը, եթե x > 0 :
a2=√7*63=21
բ) 2, x, 18։ Գտեք x — ը, եթե x < 0 :
a2=√2*18=-6;6
գ) 3,2; x; 0,2։ Գտեք x — ը ։
a2=√3.2*0.2=0.8

Առաջադրանքներ․
1) Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=10*14*√3/2=121.24
2) Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=6*12*0.5=36
3) 135√2 դմ<sup>2</sup> մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
α=135√2/(15*18)=√2/2=sin45
4) Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ<sup>2</sup> է:
x(x+2)*√3/2=24√3=x<sup>2</sup>*2x-48=0
D=4-1*4*(-48)=196
x1=-2+14/2=6
x2=-2-14/2=-8
5) Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60^o:
S=12*12*√3/2=124.7
6) Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ², իսկ անկյունը` 45^o։
x*√2/2=8√2
x=8√2 : √2/2=16.15
7) 322√2 սմ² մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:
x*√2/2=322√2
x=322√2 : √2/2=650.52

1) Եռանկյան կողմերն են՝ 5, 12, 13:
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
p=5+12+13/2=15
S=√15(15-5)(15-12)(15-13)=√15*10*3*2
S=√900=30
բ) Գտնել եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղը։
R=5*12*13/120=6.5
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=30/15=2

2) Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 13 է, իսկ հիմքին տարած բարձրությունը՝ 5։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
169-25=144
√144=12, հիմք=12+12=24
p=24+13+13/2=25
S=√25(25-24)(25-13)(25-13)=√25*1*12*12=√3600
S=60
բ) Գտնել եռանկյան պարագիծը։
P=24+13+13=50
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=60/25=2.4

3) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 48 է, հիմքին իջեցրած բարձրությունը՝ 7։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
7²+24²=625
√625=25
p=48+25+25/2=49
S=√49(49-48)(49-25)(49-25)=√49*1*24*24
S=168
բ) Գտնել եռանկյան պարագիծը։
P=48+25+25=98
գ) Գտնել եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղը։
R=25*25*48/672=44.6

4) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 14 է, սրունքը՝ 25։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
p=14+25+25/2=32
S=√32(32-14)(32-25)(32-25)=√32*18*7*7=√28224
S=168
բ) Գտնել եռանկյան փոքր բարձրությունը։
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=168/32=5.25

5) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 100 է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 24:13։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
24+13=37x
100=37x
x=2.7
հիմք=2.7*24=64.8
սրունք=2.7*13=35.1
p=35.1+35.1+64.8/2=67.5
բ) Գտնել եռանկյան փոքր կողմը։
35.1
գ) Գտնել եռանկյան մեծ բարձրությունը։
h²=64.8²-35.1²=2867
h=54.47