1. 1) 1
2. 2) 31.5
3. 3) 6
4. 2) 95
5. 3) 5
6. 2) 18

7. 4) [-2;+∞)
8. 2) 4
9. 4) -2
10. 3) {1;2}
11. 2) B (-1;3)

12. 3) 1/2
13. 2) 1 3/5
14. 3) 19
15. 2) a³-a⁵

16. 2) 4
17.
18. 3) (-∞;2)U(3;+∞)

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք թվային տվյալների լայնքը, մոդն (եթե ունի) ու մեդիանը.
ա) 2, 2, 2, 5, 5, 8, 10
Լայնք — 10-2=8
մոդ — 2
մեդիան — 5
բ) -5, 4, 2, 6, 6, 8, 8, 8
Լայնք — 8-(-5)=13
մոդ — 8
մեդիան — (6+6)/2=6
գ) -105, 12, 12, 250, 233, 205, 12
Լայնք — 250-(-105)=310
մոդ — 12
մեդիան — 250
դ) -20, -120, 0, 15, 7, 7, 120, 500
Լայնք — 500-(-120)=620
մոդ — 7
մեդիան — (15+7)/2=11

2) Հաշվե՛ք թվային տվյալների միջին թվաբանականն ու մեդիանը.
ա) 1, 3, 3, 5, 7
Միջին թվաբանական — (1+3+3+5+7)/5=3.8
մեդիան — 3
բ) 5, 2, 1, -2, 7, -4
Միջին թվաբանական — (5+2+1-2+7-4)/6=1.5
մեդիան — (1-2)/2=-0.5
գ) 4,5,7,5,-8, 45
Միջին թվաբանական — (4+5+7+5-8+45)/6=9.6
մեդիան — (7+5)/2=6
դ) 2, 2, 8, 8, 8, 250, -120
Միջին թվաբանական — (2+2+8+8+8+250-120)/7=22.57
մեդիան — 8
ե) 1, 1, 1, 1, 5, 5, -6, -10
Միջին թվաբանական — (1+1+1+1+5+5-6-10)/8=-0.25
մեդիան — (1+5)/2=3

3) Գտե՛ք թվային տվյալների միջինը, մոդը, մեդիանը և լայնքը.
ա) 0, 0, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10
Միջին թվաբանական — (5+5+10+10+10+10+10)/9=6.6
մեդիան — 10
լայնք — 10-0=10
մոդ — 10
բ) 1, 1, 2, 2, 2, 19, 20, 21
Միջին թվաբանական — (1+1+2+2+2+19+20+21)/8=8.5
մեդիան — (2+2)/2=2
լայնք — 21-1=20
մոդ — 2
գ)-6, 6, 0, -3, 3
Միջին թվաբանական — (-6+6-3+3)/5=0
մեդիան — 0
լայնք — 0
մոդ — չկա
դ) –10, 0, 0, 12, 13, 12, 12
Միջին թվաբանական — (-10+12+13+12+12)/7/=5.57
մեդիան — 12
լայնք — 12-(-10)=22
մոդ — 12

4) Գտե՛ք a-ի թվային արժեքը, եթե հայտնի է, որ a, 1, 1, 2, 2, 4 բնական թվերի՝
ա) մոդը 2 է
2, 1, 1, 2, 2, 4
a=2
բ) մեդիանը 1.5 է
2, 1, 1, 2, 2, 4
a=2
գ) լայնքը 4 է
0, 1, 1, 2, 2, 4
a=0
դ) միջինը 3 է
8, 1, 1, 2, 2, 4
a=8
ե) մեդիանը մեծ է մոդից
1, 1, 1, 2, 2, 4
a=1

1) Գտեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին հինգ անդամների գումարը, եթե
ա) a₁ = 5, q = 2
S5=5*(2⁵-1)/2-1=155
բ) a₁ = 4, q = — 3
S5=4*(-3⁵-1)/-3-1=243
գ) a₁ = — 2, q = 1/2
S5=-2*(0.5⁵-1)/0.5-1=3.875
դ) a₁ = — 1/3, q = — 2
S5=-1/3*(-2⁵-1)/-2-1=-3.6

2) {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գտեք S₆-ը, եթե a₁ = 48, q = 1/2:
S6=48*(0.5⁶-1)/0.5-1=-1.5

3) {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 14, q = −1։ Հաշվեք
ա) S₁₀₀-ը
S100=14*(-1¹⁰⁰-1)/-1-1=14
բ) S₁₀₁-ը
S101=14*(-1¹⁰¹-1)/-1-1=14

4) Հաշվեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին տասը անդամների գումարը.
ա) -32, 16, -8, 4, ․․․
q=16/-32=-0.5
S10=-32*(-0.5¹⁰-1)/-0.5-1=-21.3125
բ) 32, 16, 8, 4, ․․․
q=16/32=0.5
S10=32*(0.5¹⁰-1)/0.5-1=63.9375

5) {a} երկրաչափական պրոգրեսիայում հաշվեք
ա) S₁₀-ը, եթե q = 2, a₁ = — 1/36
S10=-1/36*2¹⁰-1/2-1=-28.4
բ) S₁₀-ը, եթե q = — 2, a₁ = — 1/36
S10=-1/36*(-2¹⁰-1)/-2-1=-9.48
գ) S₆-ը, եթե q = 3, a₁ = — 1/27
S6=-1/27*3⁶-1/3-1=-13.48
դ) S₆-ը, եթե q = — 3, a₁ = — 2/27
S6=-2/27*-3⁶-1/-3-1=13.48

Առաջադրանքներ․
1) Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.
ա) S₇ -ը, եթե a₁ = 1, q = 2
S7=1*(2⁷-1)/2-1=127
բ) S₈ -ը, եթե a₁ = -1, q = 3
S8=-1*(3⁸-1)/3-1=-3280
գ) S₄ -ը, եթե a₁ = 8, q = 1/2
S4=8*(0.5⁴-1)/0.5-1=15
դ) S₆ -ը, եթե a₁ = 4, q = -3
S6=4*((-3)⁶-1)/-3-1=-728

2) Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք S₅ -ը.
ա) a₂ = 4, q = 3
S5=4/3*(3⁵-1)/3-1=484/3
a1=4/3
բ) a₃ = 9, a₄ = 27
q=27/9=3
a2=9/3=3
a1=3/3=1
S5=1*(3⁵-1)/3-1=121
գ) a₂ = 8, q = -1/2
a1=8/0.5=-16
S5=-16*(-0.5⁵-1)/0.5-1=-33

3) Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտե՛ք a₁ — ը, եթե
ա) S₄ = 30, q = 2
S4=a1*qⁿ-1/q-1=30
a1*2⁴-1/2-1=30
15a1=30, a1=2
բ) S₆ = -2184, q = 3
a1*3⁶-1/3-1=-2184
364a1=-2184, a1=-6
գ) S₇ = 5, q = -1
a1*(-1⁷-1)/-1-1=5
a1=5
դ) S₃ = 91, q = -4
a1=-4³-1/-4-1=91
13a1=91, a1=7

4) Տրված է b_n = 3 * 2^{n — 1} երկրաչափական պրոգրեսիան: Հաշվե՛ք.
ա) b₃ + b₄
b3=3*2²=12
b4=3*2³=24
24+12=36
բ) b₅ + b₆
b5=3*2⁴=48
b6=3*2⁵=96
48+96=144

5) {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 6, q = -1: Հաշվե՛ք.
ա) S₂₀₂₅ — ը
S2025=6*(-1²⁰²⁵-1)/-1-1=6
բ) S₂₀₂₆ — ը
S2026=6*(-1²⁰²⁶-1)/-1-1=6

1) Արտահայտությունն արտահայտե´ք a₁-ով ու d-ով.
ա) a₅ + a₁₀
(a1+4d)+(a1+9d)=2a1+13d
բ) a₃ + 2a₇
(a1+2d)+(2a1+12d)=3a1+14d
գ) a₇ + a₈ — 2a₆
(a1+6d)+(a1+7d)-2(a1+5d)=2a1+13d-2a1+10d=3d
դ) a₁₅ + a₁₇ — 2a₁₆
(a1+14d)+(a1+16d)-2(a1+15d)=2a1+30d-2a1+30d=0

2) {a_n} թվաբանական պրոգրեսիայում գտեք
ա) a₂ և d-ն, եթե a₁ = 5, a₃ = 13 ;
a3=a1+2d
13=5+8
2d=8, d=4
a2=a1+d=5+4=9
բ) a₁ և d-ն, եթե a₂ = 3 , a₁₀ = 19 ;
a10=a1+9d
a10-a2=19-3=16
8d=16, d=2
a1=3-2=1
գ) a₂ և d-ն, եթե a₁₂ = — 2 , a₃ = 7 ;
a12=a3+9d
-2=7-9
9d=-9, d=-1
a1=9, a2=9-1=8
դ) a₁₀₁ և d-ն, եթե a₁₂ = 20,5 ; a₇ = 10, 5 :

3) Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվեք․
ա) S₂₀ — ը, եթե a₁ = 1 , a₂₀ = 20 ;
S20=20*(1+20)/2=210
բ) S₁₃, եթե a₁ = 17, a₁₃ = 13 ;
S13=13*(17+13)/2=195
գ) S₃₀, եթե a₁ = — 10 a₃₀ = 20 ;
S30=20*(-10+20)/2=100
դ) S₁₇, եթե a₁ = 11, a₁₇ = 19 :
S17=19*(11+19)/2=285

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք տրված թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը.
ա) 9, 11, 13, …,
d=11-9=2
բ) 1, 0, -1, ….
d=0-1=-1
գ) 3, 7, 11, …,
d=7-3=4
դ) 4, 1, -2, …,
d=1-4=-3
ե) 1, 1.5, 2, …,
d=1.5-1=0.5
զ) 7.5, 6.2, 4.9, …,
d=6.2-7.5=-1.3

2) Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներից ինչ-որ մեկը և d տարբերությունը: Գտե՛ք պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները.
ա) a₁ = 2, d = 5
a2=2+5=7
a3=7+4=11
a4=11+4=15
բ) a₁ = 9, d = — 3
a2=9-3=6
a3=6-3=3
a4=3-3=0
գ) a₂ = — 2, d = 1.5
a1=-2-1.5=-3.5
a3=-2+1.5=-0.5
a4=-0.5+1.5=1
դ) a₃ = — 7, d = — 3.5
a1=-7+(2*(-3.5))=0
a2=0-3.5=-3.5
a4=-7-3.5=-10.5

3)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.
ա) S₁₂ — ը, եթե a₁ = 5, a₁₂ = 35
S12=12*(5+35)/2=240
բ) S₉ — ը, եթե a₁ = 4, a₉ = 28
S9=9*(4+28)/2=144
գ) S₁₇ — ը, եթե a₁ = 4, a₁₇ = 45
S17=18*(4+45)/2=416.5
դ) S₅ — ը, եթե a₁ = 2, a₅ = -8
S5=5*(2-8)/2=-15

4) Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.
ա) S₁₀ — ը, եթե a₁ = 3, d = 4
S10=10*(6+4(10-1)/2=450
բ) S₈ — ը, եթե a₁ = 7, d = 1
S8=8*(14+1(8-1)/2=420
գ) S₁₃ — ը, եթե a₁ = 4, d = -1
S13=13*(8-1(13-1)/2=546
դ) S₅ — ը, եթե a₁ = -4, d = 2
S5=5*(8+2(5-1)/2=100

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք օրինաչափությունը և հաջորդականության հաջորդ անդամը.
ա) 1, 11, 111, 1111, 11111
բ) 1,-2, 3, 4, 5, -6, 7
գ) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
դ) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2
ե) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13
զ) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4

2) Գրե՛ք բանաձևով տրված հաջորդականության առաջին 5 անդամը.
ա) a_n = 2n + 1
a1=2+1=3
a2=4+1=5
a3=6+1=7
a4=8+1=9
a5=10+1=11
բ) a_n = 7(n — 2)
a1=7(1-2)=-7
a2=7(2-2)=0
a3=7(3-2)=7
a4=7(4-2)=14
a5=7(5-2)=21
գ) a_n = — 4n + 2
a1=-4+2=-2
a2=-8+2=-6
a3=-12+2=-10
a4=-16+2=-14
a5=-20+2=-18
դ) a_n = 1.5n + 2
a1=0.5*1.5+2=2.75
a2=1*1.5+2=2.5
a3=1.5*1.5+2=4.25
a4=2*1.5+2=5
a5=2.5*1.5+2=5.75
ե) a_n = 3ⁿ
a1=3
a2=9
a3=27
a4=81
a5=243
զ) a_n = 6 * 2^{n — 1}
a1=6
a2=6*2=12
a3=6*4=24
a4=6*8=48
a5=6*16=96

3) Հաշվե՛ք n-րդ անդամի բանաձևով տրված հաջորդականության երրորդ և չորրորդ անդամները.
ա) a_n = (n — 3)⁵
a3=(3-3)⁵=0
a4=(4-3)⁵=1
բ) b_n = (n + 1)^{n — 4}
b3=(3-1)^3-4=0.25
b4=(4+1)^4-4=1
գ) e_n = (- 1)ⁿ * n
e3=(-1)³*3=-3
e4=(-1)⁴*4=4

4) Տրված է հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.
ա) a_n = 3n — 1 Գտեք a₁, a₂, a₅ , a₁₀₀ -ը։
a1=1-1=0
a2=6-1=5
a5=15-1=14
a100=300-1=299
բ) a_n = 3 + 2(n — 1) Գտեք a₁, a₂, a₁₂ , a₃₀ -ը։
a1=3+2(1-1)=0
a2=3+2(2-1)=5
a12=3+2(12-1)=55
a30=3+2(30-1)=145

5) Գտեք ընդհանուր անդամի բանաձևով տրված հաջորդականության առաջին վեց անդամների գումարը.
ա) a_n = 3n + 2
a1=3+2=5
a2=6+2=8
a3=9+2=11
a4=12+2=14
a5=15+2=17
a6=18+2=20
5+8+11+14+17+20=75
բ) a_n = (- 1)ⁿ * n
a1=(-1)*1=-1
a2=(-1)²*2=2
a3=(-1)³*3=-3
a4=(-1)⁴*4=4
a5=(-1)⁵*5=-5
a6=(-1)⁶*6=6
-1+2+(-3)+4+(-5)+6=3

Լուծեք հավասարումները․

1)

ա) x²=y, y²-3²+2=0
D=9-8=1
y1=3+1/2=2
y2=3-1/2=1
x1=±√2
x2=±√1

բ) x²=y, y²-10y+9=0
D=100-36=64
y1=10+8/2=9
y2=10-8/2=1
x1=±3
x2=±√1

գ) x²=y, y²-5y+4=0
D=25-16=9
y1=5+9/2=7
y2=5-9/2=-2
x1=±√7
x2=չկա

դ) x²=y, y²-26y+25=0
D=676-100=576
y1=26+24/2=25
y2=26-24/2=1
x1=±5
x2=±√1

ե) x²=y, y²-20y+64=0
D=400-256=144
y1=20+12/2=16
y2=20-12/2=4
x1=±4
x2=±2

զ) x²=y, y²+20y+64=0
D=400-256=144
y1=-20+12/2=-4
y2=-20-12/2=-16
Լուծում չունի

2)

ա) a²=x, x²+2x-8=0
D=4-1*4*(-8)=36
x1=-2+6/2=2, x2=-2-6/2=-4

բ) y²=x, x²+9x=400
D=81+1600=1681
x1=-9+41/2=16, x2=-9-41/2=-25

գ) k²=x, x²=12x+64
D=144-1*4*64=-112
Արմատ չկա

դ) m²=x, x²=21x+100
D = 441-400=41
x1=21+√41/2=13.7
x2=21-√41/2=7.2

ե) n²=x, x²-2x+1=0
D=4-4=0
x=2/2=1

զ) x²=y, 9y²-24²+16=0
D=576-9*4*16=0
x=24/18=1.3

է) c²=x, 6x²-35=11x
D=121-6*4*(-35)=719
Լուծում չկա

ը) p²=x, 10x²-21=x
10x²-x-21=0
D=2-4*10*(-21)=842
x1=1+√842/20=1.5
x2=1-√842/20=-1.4

3) Գտեք 7 հայտարարով այն ամենափոքր կոտորակը, որ մեծ է 1/3-ից, բայց փոքր է 2/3-ից։
2/3>x/7>1/3
x=3
2/3>3/7>1/3
4) Գտեք 100 — 1/9 թվից 9 անգամ մեծ թիվը։
100-(1/9)=99.888889
99.888889*9=899
5) [1;2] միջակայքում 9 հայտարարով քանի՞ անկրճատելի կոտորակ կա։
1/9, 2/9, 4/9, 5/9, 7/9, 8/9

Առաջադրանքներ․
1) Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) (x + 2)² + 5(x + 2) — 3 = 0
x+2=y
y²+5y-3=0
բ) (x — 4)² — 3(x — 4) + 1 = 0
x-4=y
y²-3y+1=0
գ) 2(x — 3)² — (x — 3) + 5 = 0
x-3=y
2y²-y+5=0
դ) 2(x + 7)² — 4(x + 7) — 1 = 0
x+7=y
2y²-4y-1=0

2) Փոփոխականի փոխարինմամբ լուծե՛ք հավասարումը.
ա) (x — 4)² + 6(x — 4) + 5 = 0
x-4=y
y²+6y+5=0, D=36-20=16
x1=-6+4/2=-1
x2=-6-4/2=-5
բ) (x + 1)² — 7(x + 1) — 18 = 0
x+1=y
y²-7y-18=0, D=49+72=121
x1=7+11/2=9
x2=7-11/2=-2
գ) (x — 1)² + 8(x — 1) + 12 = 0
y²+8y+12=0, D=64-48=16
x1=-8+4/2=-2
x2=-8-4/2=-6
դ) (4z + 3)² — (4z + 3) — 2 = 0
y²-y-2=0, D=1+8=9
x1=1+3/2=2
x2=1-3/2=-1

3) Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) a⁴ + 5a² — 7 = 0
a²=y
y²+5y-7=0
բ) 4x⁴ + 9x² — 1 = 0
x²=y
4y²+9y-1=0
գ) 5x⁴ + 9x²— 12 = 0
x²=y
5y²+9y-12=0
դ) -2b⁴ + 7b² + 1 = 0
b²=y
-y²+7y+1=0

Առաջադրանքներ․
1) Լուծեք հավասարումը․

ա) 3x-3-x-2/(x+2)(x-1)=0
2x-5/(x+2)(x-1)=0
2x=5, x=2,5
բ) 5x-20+8x/x*x-4=0
13x-20/x*x-4=0
13x=20, x=20/13
գ) x-1+x+1/(x+1)(x-1)=0
2x/(x+1)(x-1)=0
2x=0, x=0
դ) 2/x+4 + 4/x+2=0
2x+4+4x+8/(x+4)(x+2)=0
6x+12/(x+4)(x+2)=0
6x=12, x=2
ե) -3x/8(x-2) — 1/4x+4=0
12x-12-8x+16/(8x-16)(4x+4)=0
-20x-4/(8x-16)(4x+4)=0
-20x=-4, x=0.2
զ) 85x/x+2 — 3/1=0
85x-3/(x+2)*1=0
85x=3, x=3/85

2) Լուծեք հավասարումը․

3) Կոտորակի համարիչը հայտարարից մեծ է 1-ով։ Գտե՛ք կոտորակը, եթե համարիչը կրկնապատկելիս կոտորակը դառնում է 2.4։
2(x+1)/x=2.4
2x+2=2.4x
0.4x=2
x=5, 5+1=6
6/5
4) Մեքենան անցավ 120 կմ ճանապարհ։ Եթե մեքենայի արագությունը լիներ 10 կմ/ժ-ով ավելի, ապա նույն ճանապարհը կանցներ 1 ժամով ավելի շուտ։ Գտե՛ք մեքենայի արագությունը։
120/x — 120/x+10=1
120(x+10)-120x/x(x+10)=1200/x(x+10)=1
x(x+10)=x²+10x=1200
x²+10x-1200=0, D=100+4800=4900
x=-10+70/2=30կմ/ժ