Առաջադրանքներ․
1) O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AO հատվածի երկարությունը, եթե AK միջնագիծը 18 դմ է:
18/3=6
AO=6*2=12
OK=6
2) O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AK միջնագծի երկարությունը, եթե OK-ն 5 սմ է:
AO=5*2=10
AK=10*5=50
3) Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտե՛ք AB ներքնաձիգը, եթե AC = 6 սմ, AH = 3 սմ:
6²/3=12
4) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունը այն բաժանում է 4 սմ և 5 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք եռանկյան էջերը:
AC²=5*9=45
BC²=4*9=36
AC=√45
BC=√36
5) Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը:
Գտեք AB ներքնաձիգը, եթե AH:HB=4:5, AC = 6 դմ:
AC²=AH*AB
AH=4k
HB=5k
AB=AH+HB=4+5=9
6²=36=4k*9k=36k²
AB=9k=9
6) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունն այն բաժանում է 9 սմ և 16 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը:

1) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 3 : Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան մակերեսը 16 սմ² է:
S_ABC/S_A1B1C1=k²
S_ABC=16*9=144
144/16=9
2) Նման եռանկյուններից մեկի մակերեսը 20 դմ² է, մյուսինը`5 դմ²: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:
400/25=16
k=√16=4
3) Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 24 սմ է, իսկ մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 6 սմ է: Գտեք երկրորդ եռանկյան մակերեսը, եթե առաջինի մակերեսը 160 սմ է:
k=24/6=4
160/4²=10
4) Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 5 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց մակերեսների հարաբերությունը:
k=5²
5) M-ը ABCD զուգահեռագծի BC կողմը բաժանվում է 1:2 հարաբերությամբ՝ հաշված B կետից: AM և BD հատվածները հատվում են K կետում: Գտե՛ք K կետի հեռավորությունը AD-ից, եթե K կետի հեռավորությունը BC-ից 5 սմ է։
6) BC = 6 սմ և AD = 18 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք AOD եռանկյան OM միջնագիծը, եթե BOC եռանկյան OK միջնագիծը 8 սմ է:
k=18/6=3
8*3=24
7) BC = 4 սմ և AD = 8 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: M-ը և N–ը համապատասխանաբար AO և OC հատվածների միջնակետերն են: Գտե՛ք DM-ը, եթե BN = 3 սմ:

Առաջադրանքներ․
1) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 4 : Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան պարագիծը 26 դմ է:
26*4=104
2) Նման եռանկյուններից մեկի պարագիծը 28 սմ է, մյուսինը՝ 7 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:
k=28/7=4
3) Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 32 սմ է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 8 սմ է: Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 120 սմ է։
k=32/8=4
120/4=30
4) Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 6 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց պարագծերի հարաբերությունը:
6
5) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BM-ը և B₁M₁-ը այդ եռանկյունների միջնագծերն են: Գտե՛ք B₁M₁-ը, եթե AB = 12 սմ, A₁B₁ = 4 սմ, BM = 9 սմ։
k=12/4=3
B₁M₁=9/3=3
6) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁: AK-ն և A₁K₁-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Գտե՛ք BC-ն, եթե AK = 9 սմ, A₁K₁ = 3 սմ, B₁C₁ = 7 սմ:
k=9/3=3
BC=3*7=21
7) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BH-ը և B₁H₁-ը այդ եռանկյունների բարձրություններն են: Գտե՛ք AC-ն, եթե BH =15 սմ, B₁H₁ = 6 սմ, A₁C₁ = 8 սմ։
k=15/6=2.5
AC=2.5*8=20

1) Ապացուցեք, որ նկարում պատկերված եռանկյունները նման են։

4.5/3=1.5
6/4=1.5
9/6=1.5
Հետևաբար՝ ըստ եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշի՝ եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:

2) ABCD զուգահեռագծի CD կողմի վրա նշված է E կետը: AE և BC ուղիղները հատվում են F կետում։ Գտեք`
ա) EF–ը և FC-ն, եթե DE = 8 uմ, EC = 4 սմ, BC = 7 սմ, AE = 10 սմ,
EF/AE=EC/DE
EF=4*10/8=5
FC/AD=7/2
FC=3.5
բ) DE–ն և EC-ն, եթե AB = 8 սմ, AD = 5 սմ, CF = 2 սմ:

3) AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք`
ա) AB–ն, եթե OB = 4սմ, OD = 10 սմ, DC = 25 սմ,
բ) (AO)/(OC)-ն և (BO)/(OD) -ն եթե AB = a, DC = b
գ) AO-ն, եթե AB = 9,6 դմ, DC = 24 սմ, AC = 15 սմ:
4) ABC եռանկյան AB կողմը 15 սմ է, իսկ AC կողմը` 20 սմ։ AB կողմի վրա անջատված է AD = 8 սմ, իսկ AC կողմի վրա՝ AE = 6 սմ հատվածը։ Նման են, արդյոք, ABC և ADE եռանկյունները
15/8≠20/6
Ոչ, նման չեն
5) Նման են, արդյոք, երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, եթե դրանցից մեկն ունի 40°–ի անկյուն, իսկ մյուսը`
ա) 50°–ին հավասար անկյուն
180-(40+50)=90 — այո
բ) 60°–ին հավասար անկյուն
180-(40+60)=80 — ոչ
6) Նման են, արդյոք, ABC և A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> եռանկյունները, եթե`
ա) AB = 3սմ, BC = 5սմ, CA = 7սմ, A₁B₁ = 4,5սմ, B₁C₁ = 7,5սմ, C₁A₁ = 10,5սմ
3/4.5=5/7.5=7/10.5 — այո
բ)AB = 1,7սմ, BC = 3սմ, CA = 4,2սմ, A₁B₁ = 34դմ, B₁C₁ = 60դմ, C₁A₁ = 84դմ:
340/1.7=600/3=840/4.2 — այո

Առաջադրանքներ․
1) Նման են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե AB = 3մ, BC = 4մ, AC = 6մ, A₁B₁ = 9մ, B₁C₁ = 12մ , A₁C₁ = 18մ:
Այո, եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:
2) Նման են երկու եռանկյուններ, եթե մեկի կողմերը հարաբերում են ինչպես 3:8:9, իսկ մյուսի կողմերը 24 սմ, 9 սմ, 27 սմ են:
3*3=9
3*8=24
3*9=27
3) ABC և BCD եռանկյուններում AB = 36 սմ, BC = 18սմ, AC = 20 սմ, DC = 9սմ, DB = 10 սմ: Ապացուցեք, որ ΔABC ~ ΔBCD :
Այո, նման են։ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երկու կողմերին, իսկ այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են։
4) O գագաթով անկյան կողմերից մեկի վրա վերցված են A և B, իսկ մյուսի վրա C և D կետերը այնպես, որ AO = 4 սմ, BO = 7սմ, OC =12 սմ, OD = 21սմ: Նման են OAC և OBD եռանկյունները:
Այո, նման են։
5) Ըստ նկարների տվյալների՝ գտեք x–ը և y–ը։

6) M-ը և N-ը ABC եռանկյան համապատասխանաբար AB և BC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը նման է MBN եռանկյանը:

1) ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 2,5 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 12 դմ, 8 դմ և 15 դմ են:
12/2.5=4.8 դմ
8/2.5=3.2 դմ
15/2.5=6 դմ
2) Նմա՞ն են, արդյոք, ABC և DEF եռանկյունները, եթե <A = 106^օ, <B = 34^օ, <E = 106^օ, <F = 40^օ, AC = 4,4սմ, AB = 5,2սմ, BC = 7,6սմ, DE = 15,6սմ, DF = 22,8սմ, EF = 13,2սմ:
BC/DF=1:3
AC/EF=1:3
AB/DE=1:3
Այո, նման են։
3) ABC և KMN նման եռանկյունների մեջ AB և KM, BC և MN կողմերը նմանակ են։ Գտեք KMN եռանկյան կողմերը, եթե AB = 4 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ , KM/AB = 2,1։
KM=4/2.1=1.9
MN=5/2.1=2.3
KN=7/2.1=3.3
4) KPF և EMT եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ KP/ME = PF/MT = KF/ET, <F = 20^օ, <E = 40^օ : Գտեք այդ եռանկյունների մյուս անկյունները։
5) Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2 սմ և 5 սմ։ Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք երկրորդ եռանկյան պարագիծը:
6) Նման ուղղանկյուն եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3: Նրանցից առաջինի էջերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը։

Առաջադրանքներ
1) Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե ∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C=∠C₁, AB = 12 սմ, BC = 8 սմ, AC = 18 սմ, A₁B₁= 6 սմ, B₁C₁ = 4 սմ, A₁C₁ = 9 սմ:
Այո, նման են։
2) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, BC = 14 դմ, AC = 9 դմ, B₁C₁= 7 դմ: Գտե՛ք A₁C₁-ը:
A₁C₁=9/2=4,5
A₁C₁=4.5 դմ
3) ABC և KMN եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ AB/MN = BC/NK = AC/MK: ABC և MNK եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար:
<C=<K
<A=<M
<B=<N
4) ABC և A₁B₁C₁ նման եռանկյուններում AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁ <BAC = 65^o : Գտե՛ք <A₁B₁C₁ –ը:
<A₁B₁C₁=180-(65+65)=50^o
5) ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ <A = <A₁, BC = 15 սմ, B₁C₁ = 5 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:
BC/B₁C₁=15/5=3
6) ABC և DEF եռանկյունները նման են։ <A = <D, <C = <F, EF = 14 սմ, DF = 20 սմ, BC = 21 սմ։ Գտեք AC–ն։
EF/BC=3:2
DF/AC=5:4
20/(3+2)=4
DF=4*5=20
AC=4*4=16

Առաջադրանքներ․
1) Հետևյալ հատվածներից որո՞նք են համեմատական a = 4 սմ և b = 6 սմ հատվածներին.
ա) c = 2 սմ, d = 3 սմ
բ) m = 6 սմ, n = 9 սմ
գ) l = 1 դմ, p = 1,8 դմ:
2) AB և CD հատվածները համեմատական են EF և MN հատվածներին: Գտեք EF-ը, եթե AB = 5 սմ, CD = 8 սմ, MN = 10 սմ:
AB/CD=EF/MN
5/8=EF/10
EF=50/8
3) Եռանկյան a և c կողմերը համեմատական են c և b կողմերին: Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը, եթե a = 4 սմ, b = 9 սմ:
a/c=c/b
4/c=c/9
c²=4*9=36
c=6
P=6+4+9=19
4) ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե CD = 10 սմ, BC/CD = AC/OC:
BC/10=2OC/OC
BC/10=2
BC=20
P=20+20+10+10=60
5) CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը, եթե BD = 20 սմ, AD = 15 սմ, AC = 21 սմ:
15/20=21/BC
20*21=BC*15
420/15=BC
BC=28
P=20+15+21+28=84
6) KP և MN հատվածները DO և AL հատվածներին համեմատական են։ Գտեք AL–ը, եթե KP = 8 դմ, MN = 40 սմ, OD = 1 մ:

Առաջադրանքներ․

1)

a={2;3}, b={-0,5;-2}, c={8;0}, d={1;-1}, e={0;-2}, f={-1;0}

2)

ա) x=-3 i+1/5 j
բ) -2 i, -3 j
գ) z=- i
դ) 3 j
ե) j

3)

ա) x=5, y=-2
բ) x=-3, y=7
գ) x=-4, y=0
դ) x=0, y=0

4)

ա) {5;7}
բ) {4;1}
գ) {1;1}
դ) {-1;0}

5)

ա) {3;2}
բ) {0;0}
գ) {-1;3}
դ) {-7;-2}

6)

2a={6;4}
3a={9;6}
-a={-3;-2}
-3a={-9;-6}

7)

-a={-2;-4}
-b={2;0}
-c={0;0}
-d={2;3}
-e={-2;3}

Առաջադրանքներ․
1) Գտե՛ք տրված վեկտորների կոորդինատները, եթե
ա) a =7i + 4j
a=(7;4)
բ) b = -5i + 2j
b=(-5;2)
գ) c = 6i
c=(6;0)
դ) d = -4j
d=(0;-4)
2) Գծե՛ք Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և i , j կոորդինատային վեկտորներ։ Կառուցե՛ք a{2; 3}, b{- 1; 4}, c{3; — 2}, d{- 2; — 3} վեկտորները, որոնց սկզբնակետը O կետն է:
a)

b)

c)

d)

3) c վեկտորը վերածեք ըստ a և b վեկտորների:

4) a b c d վեկտորները վերածեք ըստ i և j կոորդինատային վեկտորների և գտե՛ք դրանց կոորդինատները:

5) c{- 5; 6} վեկտորը a{x, y} և b{- 2; 1} վեկտորների գումարն է: Գտե՛ք x-ը և y — ը:
{-5;6}-{-2;1}={-3;5)
6) Տրված են c{7; 3} և a{3; 4} վեկտորները: Գտեք c — a վեկտորի կոորդինատները:
c-a={7;3}-{3;4)={4;-1}
7) Տրված են a{11; — 5} և b{5; 8} վեկտորները: Գտեք a — b վեկտորի
կոորդինատները:
a-b={11;-5}-{5;8}={6;-13}
8) Տրված են a{- 4; 1} վեկտորը: Գտեք 3a — 2a վեկտորների կոորդինատները:
3a-2a={-12;3}-{-8;2}={-20;1}
9) Տրված են a{- 2; 5} և b{3; — 4} վեկտորները: Գտե՛ք 2a — b վեկտորին
հակադիր վեկտորի կոորդինատները:
2a-b={-4;10}-{3;-4}={-7;6}
2a-b վեկտորին հակադիր վեկտորի կոորդինատները` {7;-6}