Առաջադրանքներ․
1) Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=10*14*√3/2=121.24
2) Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=6*12*0.5=36
3) 135√2 դմ<sup>2</sup> մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
α=135√2/(15*18)=√2/2=sin45
4) Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ<sup>2</sup> է:
x(x+2)*√3/2=24√3=x<sup>2</sup>*2x-48=0
D=4-1*4*(-48)=196
x1=-2+14/2=6
x2=-2-14/2=-8
5) Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60^o:
S=12*12*√3/2=124.7
6) Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ², իսկ անկյունը` 45^o։
x*√2/2=8√2
x=8√2 : √2/2=16.15
7) 322√2 սմ² մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:
x*√2/2=322√2
x=322√2 : √2/2=650.52

1) Եռանկյան կողմերն են՝ 5, 12, 13:
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
p=5+12+13/2=15
S=√15(15-5)(15-12)(15-13)=√15*10*3*2
S=√900=30
բ) Գտնել եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղը։
R=5*12*13/120=6.5
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=30/15=2

2) Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 13 է, իսկ հիմքին տարած բարձրությունը՝ 5։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
169-25=144
√144=12, հիմք=12+12=24
p=24+13+13/2=25
S=√25(25-24)(25-13)(25-13)=√25*1*12*12=√3600
S=60
բ) Գտնել եռանկյան պարագիծը։
P=24+13+13=50
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=60/25=2.4

3) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 48 է, հիմքին իջեցրած բարձրությունը՝ 7։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
7²+24²=625
√625=25
p=48+25+25/2=49
S=√49(49-48)(49-25)(49-25)=√49*1*24*24
S=168
բ) Գտնել եռանկյան պարագիծը։
P=48+25+25=98
գ) Գտնել եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղը։
R=25*25*48/672=44.6

4) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 14 է, սրունքը՝ 25։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
p=14+25+25/2=32
S=√32(32-14)(32-25)(32-25)=√32*18*7*7=√28224
S=168
բ) Գտնել եռանկյան փոքր բարձրությունը։
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
r=168/32=5.25

5) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 100 է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 24:13։
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը։
24+13=37x
100=37x
x=2.7
հիմք=2.7*24=64.8
սրունք=2.7*13=35.1
p=35.1+35.1+64.8/2=67.5
բ) Գտնել եռանկյան փոքր կողմը։
35.1
գ) Գտնել եռանկյան մեծ բարձրությունը։
h²=64.8²-35.1²=2867
h=54.47

Առաջադրանքներ․

1) Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 45° անկյուն:
S=1/2*16*7*√2/2=28√2
2) Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 11 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 150° անկյուն:
S=1/2*11*8*1/2°=22
3) Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 3570 սմ³ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 84 սմ² է:
R=abc/4S=3570/336=10.625
4) Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 150√5սմ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 15 սմ² է:
R=150√5/60=2.5√5
5) Գտե՛ք 5 դմ, 5 դմ, 8 դմ կողմերով եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
H=25+64=√89
R=H/2=4.7
6) Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա պարագիծը 40 սմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 3 սմ:
S=(40/2)*3=60
7) Գտե՛ք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 210 դմ² է, իսկ պարագիծը՝ 84 դմ:
R=210/(84/2)=5
8) Եռանկյան կողմերից մեկը 24 դմ է, իսկ մյուս երկու կողմերի գումարը՝ 32 դմ: Գտեք այդ եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 84 դմ² է։
R=24+32/84*4
R=56/336
9) Գտե՛ք 10 սմ, 10 սմ, 16 սմ կողմերով եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:
S=√18(18-10)(18-10)(18-16)=√18*8*8*2
S=√2304=48

1) Սինուսների և կոսինուսների թեորեմների օգնությամբ
լուծեք ABC եռանկյունը, եթե․
ա) <A = 60^o, <B = 40^o, c = 14
<C=180-(60+40)=80^o
14/sin80^o=a : √3/2=b/sin40^o
a=14*√3/2 : sin80^o=7√3/sin80^o
b=14*sin40^o/sin80^o
բ) <A = 30^o , <C = 75^o, b = 4,5
<B=180-(30+75)=75^o
a/0,5=4,5/sin75^o=c/sin75^o
c=4,5
գ) <A = 80^o, a = 16, b = 10
16/sin80^o=10/sinB=c/sinC
sinB=10*sin80^o/16=10*9.8/16=0.61
<B=38^o
<C=180-(80+38)=62^o
sin62^o=0.88
10/0.61=c/0.88
c=0.88*10/0.61=8.8/0.61=14.42
դ) <B = 45^o, <C = 70^o , a = 24,6
<A=180-(45+70)=65
24.6/sin65^o=b/√2/2=c/sin70^o
b=24.6*√2/2/sin65^o=12.3√2/sin65^o=19.2
c=24.6*sin70^o/sin65^o=23.1/0.9=25.6

2) ABC եռանկյան մեջ <A = 10^o, <C = 20^o, AC = 10 սմ։ Գտեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը։
a/sin10^o=10/sin150^o=c/sin20^o=2R
sin150^o=sin30^o*5=5/10=0.5
2R=10/0.5=20
R=10

3) Լուծե՛ք ABC եռանկյունը, եթե.
ա) b = 5 սմ, c = 12 սմ, ɑ = 45^o
a²=25+144-120*√2/2=169-60√2
a=√169-60√2=8.62
5/sinB=8.62/√2/2=0.41
<B=24.5^o
<C=180-(45+24.5)=110.5^o
բ) a = 10 սմ, b = 14 սմ, ɣ = 30^o
c²=100+196-280*√3/2=296-140√3
c=√53.6=7.53
7.53/0.5=10/sinA=14/sinB
sinA=0.5*10/7.53=0.6
<A=41^o
<B=180-(30+41)=109^o
գ) a = 8 սմ, c = 12 սմ, ß = 60^o
b²=64+144-192*0.5=208-96=112
b=√112=10.5
10.5/√3/2=8/sinA=12/sinC
sinA=8*√3/2/10.5=6.92/10.5=0.65
<A=41^o
<C=180-(41+60)=79^o

Առաջադրանքներ
1) ABC եռանկյունում AC = √2 սմ, BC = 1 սմ, <ABC = 45^օ ։ Գտե՛ք BAC անկյունը:
√2 : √2/2=2
2=1/sinα
sinα=1/2
α=30^o
2) Եռանկյան կողմը 12 սմ է, իսկ դրա դիմացի անկյունը` 45°: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
12/ 2* √2/2=12/√2
12√2/√2=6√2
R=6√2
3) Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը 5 դմ է, անկյուններից մեկը՝ 60°: Գտեք այդ անկյան դիմացի կողմը:
a : √3/2=10
a=2*5*√3/2=5√3
4) Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է կողմերից մեկին: Գտե՛ք այդ կողմի դիմացի անկյունը:
5) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12√3 սմ է, հիմքին առընթեր անկյունը 60° է: Գտեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
180-60-60=60՝ եռանկյունը հավասարակողմ է
12√3=2R*√3/2
12√3=R√3
R=12
6) Եռանկյան 6 սմ և 2√3 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 30° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:
c²=6²+2√3²-24√3*√3/2
c²=48-36=12
c=√12=2√3
7) Եռանկյան 3 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 120° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:
a²=b²+c²-2bc*(-1/2)
a²=73-48*(0,5)=73+24=97
a=√97
8) Գտե՛ք 5 սմ, 7 սմ, 9 սմ երկարությամբ կողմերով եռանկյան ամենամեծ անկյան կոսինուսը:
9²=7²+5²-70*cosC
cosC=25+49-81/70=-7/70=-1/10
cosC=-0.1
9) Եռանկյան կողմերը 6 դմ և 2√7 դմ են: Երկրորդ կողմի դիմացի անկյունը 60° է: Գտե՛ք եռանկյան երրորդ կողմը:

1) Գտե՛ք sinɑ -ն, եթե.
ա) cosɑ = 0
sinɑ=1
բ) cosɑ = — 1/2
sinɑ=√3/2
գ)cosɑ = √3/2
sinɑ=-1/2
դ)cosɑ = — 1
sinɑ=2

2) Գտեք sinɑ -ն ու ctgɑ -ն, եթե
ա) cosɑ = -√3/2
sinɑ=1/2
ctgɑ=1/√3
բ) cosɑ = -√2/2
sinɑ=
ctgɑ=

3) Գտեք cosɑ–ն, եթե՝
ա) sinɑ = √3/2
cosɑ=1/2
բ) sinɑ = 1/4

գ) sinɑ=0
cosɑ=1

4) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

ա) sin108^o/sin72^o=1
բ) cos17^o/cos163^o=-1
գ) tg42^o/tg138^o=-1

Առաջադրանքներ․

1)

ա) դրակա
բ) բացասական
գ) զրո

2)

ա) դրակա
բ) բացասական
գ) զրո

3)

ա) +
բ) —
գ) +
դ) —

4)

ա) cosα
բ) sinα
գ) cosα
դ) -sinα

5)

sin120^o=√3/2
cos120^o=-√3/2
tg120^o=-1
ctg120^o=-1

6)

sin135^o=√2/2
cos135^o=-√2/2
tg135^o=-1
ctg135^o=-1

7)

sin150^o=1/2
cos150^o=-1/2
tg150^o=-1
ctg150^o=-1

1) Շրջանագծի հատողն իր արտաքին մասից մեծ է 2.1/4 անգամ։ Հատողը նույն կետից տարված շոշափողից քանի՞ անգամ է մեծ։
AD/AB
AD=2.25x
AB²=x*2.25x=2.25x²
AB=1.5x
2.25x/1.5x=1.5
2) Դիցուք՝ AB-ն շոշափող է, AD-ն՝ նույն շրջանագծի հատող, որի արտաքին մասը AC-ն է։ Որոշեք՝
ա) CD-ն, եթե AB = 2 սմ և AD = 4 սմ
AB²=AC*AD
AC=AB²/AD=4/4=1
CD=AD-AC=4-1=3
բ) AD-ն, եթե AC : CD = 4/5 և AB = 12 սմ
AC=4, CD=5
AB²=AC*AD
AD=AB²/AC=144/4=36
3) Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը համապատասխանաբար հավասար են 20 սմ և 40 սմ, իսկ հատողի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ 8 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։
400=40*40-2x
40-2x=10
2x=30x
x=15
8²+15²=225
√225=15
4) Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշեք շոշափողի երկարությունը, եթե նա հատողի արտաքին մասից 5 սմ–ով մեծ է, իսկ ներքին մասից` նույնքանով փոքր:
5) Մի կետից նույն շրջանագծին տարված են երկու հատող՝ որոնց երկարություններն են 15 սմ և 25 սմ։ Գտեք նրանց արտաքին մասերը, եթե հայտնի է, որ դրանցից մեկը 2 սմ–ով մեծ է մյուսից։
AC₁=15
AC₂=25
AB₁*AC₁=AB₂*AC₂
15(x+2)=25x
15x+30=25x
10x=30
x=3
3+2=5

Առաջադրանքներ․
Խնդիրների պայմաններում C ուղիղ անկյունով և CH բարձրությունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան տարրերի համար օգտագործված են հետևյալ նշանակումները. BC = a, AB = c, AC = b, CH = h, AH = b_c, BH = a_c :
1) Գտեք՝
ա) h–ը, a–ն և b–ն, եթե b_c = 25 , a_c = 16
AB=c=16+25=41
h=√a_c*b_c=√16*25=20
b²=h²+b_c²=400+625=1025
b=√1025=32
a²=h²+a_c²=400+256=656
a=√656=25.6
բ) h — ը, a–ն և b-ն, եթե b_c = 36, a_c = 64
AB=c=36+64=100
h=√a_c*b_c=√64*36=48
b²=h²+b_c²=2304+1296
b=√3600=60
a²=h²+a_c²=2304+4096
a=√6400=80
գ) a-ն, c-ն և a_c — ն, եթե b = 12, b_c = 6
h²+6²=12²
h²=144-36=108
h=√108=10.3
h²=a_c*b_c
108=a_c*6
a_c=108/6=18
c=a_c+b_c=18+6=24
a²+144=576
a²=576-144=432
a=√432=20.7
դ) b-ն, c-ն և b_c — ն, եթե a = 8, a_c = 4
h²+16=64
h²=64-16=48
h=√48=6.9
h²=a_c*b_c
48=4*b_c
b_c=48/4=12
c=a_c+b_c=12+4=16
b²+64=256
b²=256-64=192
a=√192=13.8
ե) h–ը, b–ն, a_c — ն և b_c — ն եթե a = 6, c = 9
2) Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հարաբերում են, ինչպես 3 : 4, իսկ ներքնաձիգը հավասար է 50 մմ։ Գտեք այն հատվածները, որոնց տրոհվում է ներքնաձիգը ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունով։
a/3x=50-a/4x
4a=150-3a
7a=150
a=150/7
3) BD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է։
ա) Գտեք AB–ն, եթե BC = 9սմ, AD = 7,5 սմ, DC = 4,5 սմ։
BC/DC=AB/AD
9/4.5=AB/7.5
AB=15
բ) Գտեք DC–ն, եթե AB = 30 սմ, AD = 20սմ, BD = 16սմ և <BDC = <C։
20/30=DC/16
DC=16*20/30=32/3
4) AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է։ Գտեք BD–ն և DC–ն, եթե AB = 14 սմ, BC = 20 սմ, AC = 21 սմ։
14/x=21/20-x
280-14x=21x
35x=280
x=8

Առաջադրանքներ․
1) AB և CD հատվածները հատվում են M կետում այնպես, որ MA = 7 սմ, MB = 21 սմ, MC = 3 սմ և MD = 16 սմ: A, B, C և D կետերը գտնվու՞մ են, արդյոք, միևնույն շրջանագծի վրա։
3*16=48
7*21=147
Ոչ, չեմ գտնվում միևնույն շրջանագծի վրա
2) Շրջանագծի երկու լարեր հատվում են: Մի լարի հատվածները հավասար են 24 սմ և 14 սմ, իսկ մյուս լարի հատվածներից մեկը`28 սմ: Գտեք երկրորդ լարի երկարությունը:
24*14=336
336/28=12
3) Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 48 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը` կիսվում է։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։
x*x=3*48
x²=144
x=√144=12
12+12=24
4) Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 18 մ հատվածների, իսկ երկրորդը` 3 : 8 հարաբերությամբ։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։
12*18=3x*8x
24x=216
x<sup>2</sup>=216/24=9
x=3
3*3=9
8*3=24
5) Իրար հատող երկու լարերից առաջինը 32 սմ է, իսկ երկրորդ լարի հատվածներն են 12 սմ և 16 սմ: Որոշեք առաջին լարի հատվածները։
12*16=x(32-x)
x<sup>2</sup>-32x+192=0
D=1024-768=256
x1=32+16/2=24
x2=32-16/2=8
6) Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշել շոշափողի երկարությունը, եթե հատողի արտաքին և ներքին մասերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են՝
ա) 4 սմ և 5 սմ
4*(4+5)=36
√36=6
բ) 2,25 դմ և 1,75 դմ
2.25*(2.25+1.75)=9
√9=3
գ) 1 մ և 2 մ։
1*(1+2)=3
√3=1.7
7) Շոշափողը 20 սմ է, իսկ նույն կետից տարված և շրջանագծի կենտրոնով անցնող հատողը` 50 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։
400=50*(50-2R)
400/50=8
50-8=2R=42
R=21